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如果不知道梯形的高,只有它的四边长,怎么求它的面积?
一、梯形定义:一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
己知梯形四边长,根据相似三角形的性质,容易求出红色的边长。
梯形面积=大三角形面积一上面小三角形面积;
三角形面积求法:
1、已知三边长:用海伦公式;
2、己知三边长:先用余弦定理求两边夹角,在用正弦定理求三角形面积。
梯形也是个四边形,四边形不同于三角形,三角形具有稳定性,三条边的长度给定,三角形就定了,但四边形就不一定了。梯形是一种特殊的平面四边形,它有一组对边平行,这个特点赋予了梯形一些特殊性质。那是不是这个特点决定了梯形的四条边就能确定唯一的梯形呢?看下图:
如图,梯形ABCD,AD〃BC,过D作DE〃AB,交BC与于E,则四边形ABED是个平行四边形,DE=AB,CE=BC-BE=BC-AD,在三角形CDE中,三条边都定了,则这个三角形也确定了,倒推过去,这个梯形也定了。题中给出的三角形CDE是个锐角三角形,如果是直角或钝角三角形也一样,读者可以自己试着画下。
上述过程,得出的结论是,给定四边,可以确定梯形,梯形确定了,其面积也就定了。上述过程不是我为了凑字数,而是确实在数学思维中很重要。数学是个严谨的过程,平时马虎不得,平时注重了,遇到问题,就能形成条件反射,这同时需要对相关知识系统了解,如给出四边形的4边,一下想到四边形的不稳定性,立马给自己提个问题:这个梯形是否能确定?
再回到题本身,该怎么求面积呢,梯形上下底直接给出了,只要求出高就可以了。还是在三角形CDE中,如果高中,用余弦定理,就可以直接求出∠DEC的余弦值,进而利用DE边求出高。或者海伦公式。
初中的方法通常是作CE边上的高(就看三角形CDE,另外的别看),再用方程。为了简化,把三条边(长度定了,前面说过)DE,CE,CD分别记为C,d,e,过D做DF⊥CE与F,高记为h,设x=EF,则CF=d-x(这里埋个伏笔),在直角三角形DEF中c²-x²=h²①,在直角三角形CDF中e²-(d-x)²=h²②,联立①②解得x=(c²+d²-e²)/2d,再把结果回代入①式,就可以得到h,感兴趣可以自己算下,我在外面没笔,比较复杂,但形式应该是很漂亮的。
回到刚才伏笔的地方,我只画了锐角三角形,其实直角更简单,那钝角呢?就是∠C是钝角时,CF=d-x不是不成立了吗?确实,这里应该改成相反数,CF=x-d,但是仅在②式中出现的(d-x)²,结果是一样的,x=(c²+d²-e²)/2d也成立,d-x=(d²+e²-c²)/2d,当d²+e²>c²时,∠C为锐角,d-x>0;当d²+e²=c²时,∠C为直角,d-x=0;当d²+e²><c²时,∠C为钝角,d-x<0。上述分析可以看出,无论那种情形,均可以统一模型CF=d-x,只是∠C是钝角时,就把CF当成这个模型下的负数。
至于x=(c²+d²-e²)/2d>0的问题,因为上底比下底端,总能总到方法,将一条腰平移到上底的定点,使e的对角为锐角。
上述过程,尽量识图通过初中知识回答。其中留了些问题,给提问者自己思考,看看结果的形式是不是复杂中透着对称美。然后再回过头来,看其中的本质,这种“美”的哲学意义,平时看题不要只针对问题本身,而应该合理联想,知识都是相通的,要不断思考,不断延伸。
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